具有奇异核的 Smoluchowski 凝聚方程的具肥尾自相似解

我们证明了对于满足 $C_1 \left(x^{-a}y^{b}+x^{b}y^{-a}\right)\leq K\left(x,y\right)\leq C_2\left(x^{-a}y^{b}+x^{b}y^{-a}\right)$ 的齐次核（其中 $a>0$ 且 $b<1$），Smoluchowski 凝聚方程存在具肥尾的自相似解。这特别涵盖了 Smoluchowski 经典核 $K(x,y)=(x^{1/3} + y^{1/3})(x^{-1/3} + y^{-1/3})$ 的情况。为证明存在性，我们首先考虑某个正则化核 $K_{\epsilon}$，并为其构造一列解 $h_{\epsilon}$。第二步中，我们取极限 $\epsilon\to 0$ 以获得原始核 $K$ 的解。主要困难在于建立 $h_{\epsilon}$ 的一致下界。为此的基本思路是考虑含时问题，并选择一个求解对偶问题的特殊测试函数。