Smoluchowski凝聚方程的反常维数

凝聚（或团聚）方程由Smoluchowski于1916年引入，用以描述胶体粒子通过扩散结块的过程，但已在物理化学、化学工程、大气物理、行星科学以及经济学等许多不同领域中被使用。结块的有效性由核 $K(x,y)$ 描述，其依赖于碰撞粒子 $x,y$ 的大小。我们考虑核 $K = (xy)^{\gamma}$，但任何齐次函数均可由我们的方法处理。对于足够有效的结块 $1 \ge \gamma > 1/2$，凝聚方程在有限时间内产生一个无限大的团簇（称为凝胶转变的过程）。结合解析方法与数值计算，我们计算了主团簇生长的反常标度维数，对文献中广为使用的结论提出质疑。除源自精确可解情形 $\gamma = 1$ 的解分支外，我们在 $\gamma = 1/2$ 附近发现一个新的解分支，其违背了被广泛认为具有普适性的标度关系。