逆液滴凝聚问题的非线性最小二乘法

如果已知大小为$x$的粒子与大小为$y$的粒子凝聚的速率$K(x,y)$，则不可逆凝聚粒子系综的粒子尺寸分布的平均场演化由Smoluchowski方程描述。我们研究相应的逆问题，旨在根据粒子尺寸分布的测量来确定凝聚速率$K(x,y)$。我们假设$K(x,y)$是其自变量的齐次函数，这是实践中常见的情况。确定二元函数$K(x,y)$的问题简化为确定一个单变量函数加上两个指数$\mu$和$\nu$（表征$K(x,y)$的标度性质）的更简单问题。这种简化的代价是所得的最小二乘问题在指数$\mu$和$\nu$上是非线性的。我们通过选取来自聚合物物理、云科学和天体物理学的凝聚问题，证明了该方法的有效性。应用包括由于粒子源和汇的存在而保持平稳的粒子尺寸分布，以及粒子尺寸分布随时间进行自相似弛豫的例子。