具有乘积核的凝并方程自相似解的渐近性

我们考虑具有核 $K(\xi,\eta)= (\xi \eta)^{\lambda}$（其中 $\lambda \in (0,1/2)$）的 Smoluchowski 凝并方程的质量守恒自相似解。已知此类自相似解 $g(x)$ 满足当 $x \to 0$ 时 $x^{-1+2\lambda} g(x)$ 有上下界。在本文中，我们通过形式渐近详细描述了适当缩放后的函数 $h(x)=h_{\lambda} x^{-1+2\lambda} g(x)$ 在极限 $\lambda \to 0$ 下的定性行为。结果表明，当 $x \to 0$ 时 $h \sim 1+ C x^{\lambda/2} \cos(\sqrt{\lambda} \log x)$。随着 $x$ 变大，$h$ 会产生高度为 $1/\lambda$ 的峰值，这些峰值被 $h$ 值很小的广阔区域所隔开。最后，当 $x \to \infty$ 时，$h$ 以指数速度收敛到零。我们的分析基于非局部算子的不同近似，该近似在特定区间内将原方程简化为常微分方程组。