关于具有非局域初值的立方 NLS 的 Gibbs 测度与弱流

本文证明了实线上立方 NLS $$i\partial_t u + \bigtriangleup u - |u|^2 u = 0$$ 不变测度的存在性，即我们证明了存在一个由非局域函数支撑的测度 $\rho$，使得存在随机变量 $X(t)$，其分布为 $\rho$（因此与 $t$ 无关），且 $t\mapsto X(t)$ 是立方 NLS 的解。我们的证明策略受 \cite{burqtzv} 启发，依赖于将 Prokhorov 定理和 Skorokhod 定理应用于一系列在某些近似流下保持不变的测度，正如我们在先前的 \cite{lastbaby} 中所证明的那样。然而，Bourgain 的工作 \cite{B00} 提供了比本文更强的结果，因为它给出了立方 NLS 的几乎必然强解，并且测度的不变性可由此推导得出。