无限体积下三维非线性波动方程的不变 Gibbs 测度

考虑径向非线性波动方程 $-\partial_t^2 u + \Delta u = u^3$，$u :\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x^3 \to \mathbb{R}$，$u(t,x) = u(t,|x|)$。在本文中，我们为该系统构造了一个 Gibbs 测度，并证明了其在 NLW 流下的不变性。特别是，我们处于无限体积设定中。对于有限体积类比，具体而言在具有零边界值的单位球上，Burq、Tvetkov 和 de Suzzoni 在超临界 Sobolev 空间上构造了一个作为 Borel 测度的不变 Gibbs 测度。在本文中，我们主张应在加权 H\"older 连续函数空间上考虑有限体积 Gibbs 测度。该测度支撑于此空间，且 NLW 在该空间上是局部适定的，这与 Burq 和 Tzvetkov 指出的 Sobolev 超临界性形成对比。此外，NLW 的流使该测度保持不变。我们利用多时 Feynman--Kac 公式，通过计算适当抛物型偏微分方程基本解的渐近行为，构造了无限体积极限测度。我们利用有限传播速度和描述集合论的结果建立了无限体积测度的不变性。据我们所知，本文提供了除一维情形外，首次在无限体积下构造并证明 Gibbs 测度不变性的工作。