关于具有趋化性与非线性敏感性的修正 Cahn-Hilliard-Brinkman 模型

我们考虑一个演化 PDE 系统，该系统将具有奇异势、质量源和输运效应的 Cahn-Hilliard 方程与宏观速度场的 Brinkman 型关系相耦合，并耦合至描述影响相分离过程的化学物质浓度演化的另一方程。我们设想的主要应用涉及肿瘤生长模型：特别是，化学物质方程规定该物质倾向于向肿瘤细胞更密集且更活跃消耗它的区域迁移。表征该系统的交叉扩散效应类似于趋化现象的 Keller-Segel 模型。然而，这两种设定之间存在深刻差异：实际上，Cahn-Hilliard 系统规定了关于空间变量的四阶动力学，而大多数趋化模型在空间上是二阶的。这一事实在解的正则性性质和确保存在性的条件方面具有诸多特定推论。我们的主要结果致力于证明在趋化敏感性函数非线性依赖于化学物质浓度时的弱解存在性，更确切地说，该函数在无穷远处具有缓慢增长以避免有限时间爆破。我们还分析了通过令粘度趋于零以在极限中获得 Darcy 流区域的渐近问题。