高空间可积性下输运方程弱解的非唯一性

在本文中,我们证明对于由散度自由向量场 $\boldsymbol{u}\in L^{\tilde{s}}_tW^{1,q}_x\cap L_t^{s'}L_x^{p'}$ 驱动的输运方程,在类 $\rho\in L^{s}_tL^p_x$ 中弱解的非唯一性发生于范围 $1/p+1/q>1-\frac{p-1}{4(p+1)p}$ 且某 $\tilde{s}>1$ 时,只要 $1\le s<\infty$、$p>1$。作为推论,密度 $\rho$ 在时间上的 $L^{\infty}$ 在某种意义上是弱解唯一性的临界条件。我们的证明基于[Modena and Sattig, 2020, Ann. Inst. H. Poincaré C Anal. Non Linéaire]、[Cheskidov and Luo, 2021, Ann. PDE]中发展的凸积分方法。