从有限测度值数据恢复传输图和向量场的唯一性

我们在此文中建立了从有限测度值数据恢复向量场和传输图的唯一性保证，为生成模型、数据驱动的动力系统以及 PDE 逆问题提供了新视角。特别是，我们给出单从其在有限多个密度上的推送作用下唯一确定扩散子的一般条件，即数据 $\{(\rho_j,f_\#\rho_j)\}_{j=1}^m$ 是否唯一决定 $f$。作为推论，我们引入一种新度量，通过测量有限多个推送密度在概率测度空间中的差异来比较扩散子。我们还在无穉小设置下证明了类似结果，其中平滑向量场沿密度的导数被观察到，即数据 $\{(\rho_j,\mathrm{div} (\rho_j v))\}_{j=1}^m$ 是否唯一决定 $v$。我们的分析运用了 Whitney 和 Takens 嵌入定理，这些定理提供关于所需密度数量 $m$ 的估计，仅取决于问题的固有维数。我们此外通过 Perron--Frobenius 和 Koopman 算子的视角解释结果，并展示我们的技术如何导致与连续性、输运、Fokker--Planck 以及输运扩散-反应方程相关的若干 PDE 逆问题的新保证。最后，我们呈现插值数值实验，演示从有限多个推送密度唯一识别传输图，以及从有限多个加权发散观察中识别向量场。