粗糙微分方程单轨迹的逆问题

受开发对离散观测随机粗糙微分方程进行统计推断的通用框架之需，我们的目标是构造一个几何$p$-粗糙路径${\bf X}$，当其驱动粗糙微分方程时，其响应$Y$与观测轨迹$y$相匹配。我们称之为\textit{连续逆问题}，并首先严格定义其解。随后我们开发一个框架，其中该解可构造为适当设计的\textit{离散逆问题}解之极限，从而使收敛在$p$-变分意义下成立。我们的方法基于校准有界变分路径——其极限定义了路径$X$到粗糙路径${\bf X}$的“提升”——以匹配观测轨迹$y$。此外，我们开发了求解离散逆问题的一般数值算法。该算法核心思想是利用路径的signature表示，在响应与控制间迭代，每次依所需性质校正。我们将框架应用于几何$p$-粗糙路径${\bf X}$定义为分段线性路径在$p$-变分拓扑中极限的情形。我们将固定观测率下的离散逆问题表述为分段线性路径驱动的方程系统之解，并证明当观测时间$\delta\to 0$时收敛到连续逆问题解。最后，我们表明在此情形下，求解离散逆问题的数值算法简化为对局部梯度的迭代同步更新，并证明其在$p$-变分意义下关于$\delta$一致收敛。