抛物方程扩散-对流方程解的非唯一性

我们提出了一个新实例，给出一个发散自由的速度场 $b \in L^\infty ((0,1); L^p (\mathbb{T}^2))$，其中 $p<2$ 为任意固定值，其导致扩散-对流方程在 $L^\infty_{t,x} \cap L^2_t H^1_x$ 类中的解非唯一，同时满足局部能量不等式。这一结果补充了已知的有界解唯一性结果，即对于发散自由且 $L^2_{t,x}$ 可积的速度场。此外，我们还证明了速度场时间可积性对于唯一性结果的必要性。更准确地说，我们构造另一个发散自由的速度场 $b \in L^p ((0,1); L^\infty (\mathbb{T}^2))$，其中 $p< 2$ 为固定值，但任意，其具有上述非唯一解。我们的贡献在此背景下关闭了唯一性与非唯一性区间之间的空白。此前已通过凸组合技术证明，对 $d\geq 3$ 的发散自由速度场 $b \in L^\infty((0,1);L^p (\mathbb{T}^d))$，其中 $p < \frac{2d}{d+2}$，可导致空间 $L^\infty_t L^{\frac{2d}{d-2}}_x \cap L^2_t H^1_x$ 中的解非唯一。我们的证明基于随机拉格朗日方法，不依赖凸组合。