具有非 Lipschitz 速度场的连续性方程的正则性损失

我们考虑空间维数 ${d \geq 2}$ 下连续性方程的 Cauchy 问题。我们构造了一个无散度速度场，该速度场在所有 Sobolev 空间 $W^{1,p}$（其中 $1 \leq p<\infty$）中一致有界，并构造了一个光滑紧支撑初值，使得以此初值和输运场为条件的连续性方程的唯一解在任何正时刻都不属于任何正分数阶 Sobolev 空间。我们还构造了属于 $W^{r,p}$（其中 $r>1$）的速度场，以及以这些速度为条件的连续性方程的解，只要 Sobolev 空间 $W^{r,p}$ 不嵌入 Lipschitz 函数空间，这些解就表现出某种正则性损失。我们的构造基于配套论文 "Exponential self-similar mixing by incompressible flows"（J. Amer. Math. Soc. 32 (2019), no. 2）中最优混合器的例子，并已在 "Exponential self-similar mixing and loss of regularity for continuity equations"（C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 352 (2014), no. 11）中宣布。