关于具有近不可压缩向量场的一维连续性方程

我们考虑具有有界近不可压缩向量场 $b\colon (0,T) \times \mathbb R^d \to \mathbb R^d$, $T>0$ 的连续性方程的柯西问题。这类向量场出现在双曲守恒律（特别是 Keyfitz-Kranzer 系统）的背景下。众所周知，在一般多维情况（$d\ge 1$）下，近不可压缩性对于有界弱解的存在性足够，但唯一性可能失效（即使向量场无散度），因此需要关于 $b$ 的正则性的进一步假设（例如 Sobolev 正则性）以获得唯一性。我们证明在一维情况（$d=1$）下，近不可压缩性对于局部可积弱解的存在性和唯一性足够。我们还研究了相关拉格朗日流的紧性性质。