无散度被动与主动标量系统解中维数的不守恒

对于任意 $h\in(1,2]$，我们给出 $\mathbb{R}^2$ 中一个紧支撑、一致连续且（弱）无散度速度场的显式构造，该速度场弱平流一个测度，其支撑初始为原点，但在正时刻具有豪斯多夫（Hausdorff）维数 $h$。这些速度场在空间-时间上一致连续且紧支撑，除一点外局部利普希茨（Lipschitz），并满足 Di Perna 与 Lions 理论意义下正则拉格朗日流（Regular Lagrangian Flow）存在唯一性的条件。随后我们在 $\mathbb{R}^2$ 与 $\mathbb{R}^3$ 中构造具有测度值解的主动标量系统，其初始支撑余维数为 2，但在正时刻仅余维数为 1。相关速度场无散度、紧支撑、连续，且足够正则以容许唯一正则拉格朗日流。这部分受主动标量系统测度值解支撑维数守恒性研究的启发。该问题出现于三维欧拉方程涡丝的研究中。