具有粗糙无散度漂流的被动标量的正则性性质

我们给出了无散度漂流项在 Lebesgue 空间中的尖锐条件，使得被动标量平流-扩散方程 $$\partial_t \theta - \Delta \theta + b \cdot \nabla \theta = 0$$ 满足局部有界性、单尺度 Harnack 不等式以及基本解的上界估计。我们针对属于 $L^q_t L^p_x$（其中 $\frac{2}{q} + \frac{n}{p} < 2$）或 $L^p_x L^q_t$（其中 $\frac{3}{q} + \frac{n-1}{p} < 2$）的漂流项 $b$ 证明了这些性质。对于定常漂流项，条件可化简为 $b \in L^{\frac{n-1}{2}+}$。具有“有界总速度”的漂流项空间 $L^1_t L^\infty_x$ 是一个临界情形，在该理论中扮演特殊角色。为说明条件的尖锐性，我们构造了反例，其目标是在异常奇点被耗散掉“之前”将其输运进区域内部。