空间 $L_{t}^{l}L_{x}^{q}$ 中具有散度自由漂移的抛物型方程

本文研究抛物型算子 $L_{t}=\partial_{t}-\Delta+b(t,x)\cdot\nabla$ 的基本解 $\varGamma(t,x;\tau,\xi)$，其中对每个 $t$，$b(t,\cdot)$ 是散度自由向量场，并且我们考虑 $b$ 属于 Lebesgue 空间 $L^{l}\left(0,T;L^{q}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right)$ 的情形。抛物型方程 $L_{t}u=0$ 的弱解的正则性关键取决于抛物型指数 $\gamma=\frac{2}{l}+\frac{n}{q}$ 的值。在没有 $b$ 的散度自由条件时，弱解的正则性已在 $\gamma\leq1$ 时建立，并且热核估计也已获得，除了 $l=\infty,q=n$ 的情形。对于一般的 $b$，临界情形 $L^{\infty}\left(0,T;L^{n}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right)$ 的弱解正则性被认为不成立，而对于散度自由情形则成立，且书面证明可由 [Semenov, 2006] 中的结果推导出来。本文获得的结果之一建立了对于临界和超临界情形以及散度自由向量场 $b$ 的 Aronson 型估计。我们将证明在当前方法下可推导的基本解的最佳可能下界和上界。散度自由条件的重要性进入抛物型方程的研究相对较晚，主要由于补偿紧致性的发现。研究此类抛物型方程的兴趣源于其与 Leray 的 Navier-Stokes 方程弱解以及伴随向量场的 Taylor 扩散的联系，其中热算子 $L_{t}$ 自然出现。