概率测度抛物方程解的全局正则性与估计

给定二阶抛物算子 $$Lu(t,x) :=\frac{\partial u(t,x)}{\partial t} + a^{ij}(t,x)\partial_{x_i}\partial_{x_j}u(t,x) + b^i(t,x)\partial_{x_i}u(t,x),$$ 我们考虑在$(0,1)\times\mathbb{R}^d$上Borel概率测度的弱抛物方程$L^{*}\mu=0$。该方程理解为对所有在$(0,1)\times\mathbb{R}^d$内具有紧支集的光滑函数$u$成立等式 $$\int_{(0,1)\times\mathbb{R}^d} Lu d\mu =0.$$ 与$L$相关联的扩散过程的转移概率满足此方程。我们证明在广泛假设下$\mu$具有形式$\mu=\varrho(t,x) dt dx$，其中函数$x\mapsto \varrho(t,x)$是Sobolev的，$|\nabla_x \varrho(x,t)|^2/\varrho(t,x)$在$[0,\tau]\times\mathbb{R}^d$上Lebesgue可积，且对一切$p\in [1,+\infty)$与$\tau<1$有$\varrho\in L^p([0,\tau]\times\mathbb{R}^d)$。此外，给出了$\varrho$在$[0,\tau]\times\mathbb{R}^d$上一致有界的一个充分条件。