测度变换下扩散过程泛函的分数光滑性

设$v:[0,T]\times \R^d \to \R$为抛物型向后方程\partial_t v + (1/2) \sum_{i,l} [\sigma \sigma^\perp]_{il} \partial_{x_i \partial_{x_l} v + \sum_{i} b_i \partial_{x_i}v + kv =0的解，其终端条件为$g$，其中系数依赖于时间和状态，并满足一定的正则性假设。设$X=(X_t)_{t\in [0,T]}$为定义在某个适当的$(\Omega,\cF,\Q)$上的相关$\R^d$值扩散过程。对于$p\in [2,\infty)$和测度$d\P=\lambda_T d\Q$（其中$\lambda_T$对$\alpha \in (1,p)$满足 Muckenhoupt 条件$A_\alpha$），我们将$\|g(X_T)-\ept g(X_T) \|_{L_p(\P)}$、$\|\nabla v(t,X_t) \|_{L_p(\P)}$和$\|D^2 v(t,X_t) \|_{L_p(\P)}$的行为相互关联起来，其中D^2v:=(\partial_{x_i \partial_{x_l}v)_{i,l}为 Hessian 矩阵。