关于 L\'evy 过程转移半群的某些平滑效应

设 $(P_t)$ 为取值于 Hilbert 空间 $H$ 的 L\'evy 过程 $L$ 的转移半群。设 $\nu$ 为 $L$ 的 L\'evy 测度。本文证明，对于任意有界可测函数 $f$，有 $$\int_H\left\vert P_tf(x+y)-P_tf(x)\right\vert ^2 \nu (\dif y)\le \frac 1 t P_tf^2(x) \qquad \text{对所有 $t>0$, $x\in H$ 成立。}$$ 由于 $\nu$ 可能是无限的，该公式确立了半群 $(P_t)$ 的某种平滑效应。文中还将展示该公式的一些应用。