由独立 Lévy 过程系统驱动的随机方程对应转移半群的梯度公式

设 $(P_t)$ 为由随机微分方程 $$d X= b(X) dt + d Z, \qquad X(0)=x,$$ 定义的马尔可夫族 $(X^x(t))$ 的转移半群，其中 $Z=\left(Z_1, \ldots, Z_d\right)^*$ 是一个由独立实值 Lévy 过程组成的系统。利用 Malliavin 微积分，我们建立如下梯度公式 $$\nabla P_tf(x)= \mathbb{E}\, f\left(X^x(t)\right) Y(t,x), \qquad f\in B_b(\mathbb{R}^d),$$ 其中随机场 $Y$ 不依赖于 $f$。当 $Z_1, \ldots , Z_d$ 为 $\alpha$-稳定过程，$\alpha \in (0,2)$ 时，还给出了关于 $\nabla P_tf(x)$ 的精细估计。