由具有独立坐标的Lévy过程驱动的随机微分方程解半群性质

我们研究随机微分方程 $dX_t = A(X_{t-}) \, dZ_t$，$X_0 = x$，其中 $Z_t = (Z_t^{(1)},\ldots,Z_t^{(d)})^T$ 且 $Z_t^{(1)}, \ldots, Z_t^{(d)}$ 是特征指数分别为 $\psi_1, \ldots, \psi_d$ 的独立一维 Lévy 过程。我们假设每个 $\psi_i$ 满足弱下缩放条件 WLSC($\alpha,0,\underline{C}$)、弱上缩放条件 WUSC($\beta,1,\overline{C}$)(其中 $0< \alpha \le \beta < 2$)以及一些额外的正则性性质。我们考虑两种互斥的假设：要么(i)所有 $\psi_1, \ldots, \psi_d$ 相同且 $\alpha, \beta$ 任意，要么(ii)并非所有 $\psi_1, \ldots, \psi_d$ 都相同且 $\alpha > (2/3)\beta$。我们还假设 $A(x) = (a_{ij}(x))$ 的行列式远离零，且 $a_{ij}(x)$ 有界并 Lipschitz 连续。在情形(i)和(ii)下，我们均证明对任意固定的 $\gamma \in (0,\alpha) \cap (0,1]$ 过程 $X$ 的半群 $P_t$ 满足 $|P_t f(x) - P_t f(y)| \le c t^{-\gamma/\alpha} |x - y|^{\gamma} ||f||_\infty$ 对任意有界 Borel 函数 $f$ 成立。我们还展示了过程 $X$ 转移密度的存在性。