Lévy 过程驱动的随机微分方程生成的 Markov 半群的解析性质

我们考虑如下形式的随机微分方程：\begin{equation*} \begin{cases} dX^ x(t) = \sigma(X(t-)) dL(t) \\ X^ x(0)=x,\quad x\in\mathbb{R}^ d, \end{cases} \end{equation*} 其中 $\sigma:\mathbb{R}^ d\to \mathbb{R}^ d$ 是 Lipschitz 连续的，且 $L=\{L(t):t\ge 0\}$ 是一个 Lévy 过程。在此关于 $\sigma$ 的条件下，众所周知上述问题存在唯一解 $X$。设 $(\mathcal{P}_{t})_{t\ge0}$ 是与 $X$ 相关的 Markov 半群，定义为 $( \mathcal{P}_t f) (x) := \mathbb{E} [ f(X^ x(t))]$，$t\ge 0$，$x\in \mathbb{R}^d$，$f\in \mathcal{B}_b(\mathbb{R}^d)$。设 $B$ 是一个由其符号 $q$ 刻画的伪微分算子。固定 $\rho\in\mathbb{R}$。在本文中，我们研究在关于 $\sigma$、$L$ 和 $q$ 的何种条件下，存在两个常数 $\gamma>0$ 和 $C>0$，使得 $$\lvert B \mathcal{P}_t u \rvert_{H^\rho_2} \le C \, t^{-\gamma} \,\lvert u \rvert_{H^\rho_2}, \quad \forall u \in {H^\rho_2}(\mathbb{R}^d ),\, t>0.$$