关于半线性随机偏微分方程关联的转移半群的生成元

设 $\mathcal{X}$ 为实可分 Hilbert 空间。设 $Q$ 为 $\mathcal{X}$ 上的线性、自伴、正的迹类算子，设 $F:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$ 为（足够光滑的）函数，设 $\{W(t)\}_{t\geq 0}$ 为 $\mathcal{X}$ 值柱状 Wiener 过程。对于 $\alpha\in [0,1/2]$，我们考虑算子 $A:=-(1/2)Q^{2\alpha-1}:Q^{1-2\alpha}(\mathcal{X})\subseteq\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}$。我们关注半线性随机偏微分方程 \begin{gather} \left\{\begin{array}{ll} dX(t,x)=\big(AX(t,x)+F(X(t,x))\big)dt+ Q^{\alpha}dW(t), & t>0;\\ X(0,x)=x\in \mathcal{X}, \end{array} \right. \end{gather} 的温和解 $X(t,x)$ 及其关联的转移半群 \begin{align} P(t)\varphi(x):=E[\varphi(X(t,x))], \qquad \varphi\in B_b(\mathcal{X}),\ t\geq 0,\ x\in \mathcal{X}; \end{align} 其中 $B_b(\mathcal{X})$ 是 $\mathcal{X}$ 上实值、有界且 Borel 可测的函数空间。本文研究半群 $P(t)$ 在空间 $L^2(\mathcal{X},\nu)$ 中的行为，其中 $\nu$ 是当 $F$ 为耗散且具有多项式增长时 \eqref{Tropical} 的唯一不变概率测度。然后我们证明对数 Sobolev 不等式和 Poincaré 不等式，并研究定态方程 $$\lambda u-N_2 u=f,\qquad \lambda>0,\ f\in L^2(\mathcal{X},\nu);$$ 的极大 Sobolev 正则性，其中 $N_2$ 是 $P(t)$ 在 $L^2(\mathcal{X},\nu)$ 中的无穷小生成元。