随机热方程离散化的弱收敛阶

本文研究了线性抛物型随机偏微分方程解的 Hilbert 值随机过程 $X_t$ 分布的逼近，该方程以抽象形式写为 $$dX_t+AX_t dt = Q^{1/2} d W_t, \quad X_0=x \in H, \quad t\in[0,T],$$ 其驱动噪声为给定协方差算子 $Q$ 的高斯时空噪声。我们假设对于某个 $\alpha>0$，$A^{-\alpha}$ 是有限迹算子，且对于某个 $\beta\geq 0$，$Q$ 是从 $H$ 到 $D(A^\beta)$ 的有界算子。不要求 $Q$ 是核算子或与 $A$ 交换。离散化通过空间上的有限元方法（参数 $h>0$）和时间上的隐式 Euler 格式（参数 $\Delta t=T/N$）实现。我们定义了离散解 $X^n_h$，并对于定义在 $H$ 上的适当函数 $\phi$，证明了 $$|\E \phi(X^N_h) - \E \phi(X_T) | = O(h^{2\gamma} + \Delta t^\gamma)$$ \noindent 其中 $\gamma<1- \alpha + \beta$. 值得注意的是，与有限维情形一样，其收敛速率是路径逼近速率的两倍。