粗糙分数阶线性热方程的完全离散化

我们研究随机线性热方程 \begin{equation*}\begin{cases}\partial_t \langle\Psi\rangle = \Delta \langle\Psi\rangle +\dot{B}\, , \quad t\in [0,1], \ x\in \mathbb{R},\\ \langle\Psi\rangle_0=0\, ,\end{cases}\end{equation*} 的完全离散格式,其中 $\dot{B}$ 是一个非常粗糙的时空分数阶噪声。离散过程分为三步:(i) 通过磨光型方法对噪声进行正则化;(ii) 将(平滑后的)噪声离散为 $[0,1]\times \mathbb{R}$ 上矩形区域上高斯变量的有限和;(iii) 在(非紧)区域 $[0,1]\times \mathbb{R}$ 上依据Galerkin有限元方法原理对热算子进行离散。我们建立了所得逼近到 $\langle\Psi\rangle$ 的收敛性,在这样一个特定的粗糙框架下,收敛只能在分布空间中成立。我们还给出了该算法的一些部分仿真。