线性随机 Volterra 型演化方程全离散逼近的强收敛阶

本文研究取值于 Hilbert 空间、满足由可加 Gaussian 噪声驱动的带有正型记忆项的随机线性演化方程的随机过程 $\{u(t)\}_{t\in [0,T]}$ 在时间与空间上的离散逼近。该方程可写为抽象形式 $$\dd u + (\int_0^t b(t-s)Au(s) \, \dd s)\, \dd t = \dd W^{_Q}, t\in (0,T]; \quad u(0)=u_0 \in H,$$ 其中 $W^{_Q}$ 是 $H=L^2({\mathcal D})$ 上的 $Q$-Wiener 过程，我们考虑的 $b$ 的主要例子为 $$b(t) = t^{\beta-1}/\Gamma(\beta), \quad 0 < \beta <1.$$ 设 $A$ 为 $H$ 上的无界线性自伴正算子，并进一步假设存在 $\alpha >0$ 使得 $A^{-\alpha}$ 的迹有限，且 $Q$ 对于某实数 $\kappa$（满足 $\alpha-\frac{1}{\beta+1}<\kappa \leq \alpha$）从 $H$ 有界映射到 $D(A^\kappa)$。离散化通过隐式 Euler 格式和 Laplace 变换卷积求积在时间上实现（参数 $\Delta t =T/n$），并通过标准连续有限元方法在空间上实现（参数 $h$）。设 $u_{n,h}$ 为 $T=n\Delta t$ 时刻的离散解。我们证明 $$(\E \| u_{n,h} - u(T)\|^2)^{1/2}={\mathcal O}(h^{\nu} + \Delta t^\gamma),$$ 对于任意 $\gamma< (1 - (\beta+1)(\alpha - \kappa))/2$ 且 $\nu \leq \frac{1}{\beta+1}-\alpha+\kappa$ 成立。