具有非光滑数据的半线性偏微分方程的 Runge-Kutta 时间半离散化

我们研究定义在 Hilbert 空间 ${\cal Y}$ 上的半线性发展方程 $\frac {{\rm d} U}{{\rm d} t}=AU+B(U)$,其中 $A$ 是正规的并生成强连续半群,$B$ 是从 ${\cal Y}_\ell = D(A^\ell)$ 到自身的光滑非线性项,且 $\ell \in I \subseteq [0,L]$, $L \geq 0$, $0,L \in I$。特别地,具有周期、诺伊曼和狄利克雷边界条件的一维半线性波动方程和非线性薛定谔方程符合此框架。我们在时间方向上用 A-稳定 Runge-Kutta 方法离散该发展方程,保持空间连续,并证明了对于非光滑初始数据 $U^0\in {\cal Y}_\ell$(其中 $\ell\leq p+1$)和经典阶为 $p$ 的方法,收敛阶为 $O(h^{p\ell/(p+1)})$,推广了 Brenner 和 Thom\'e}e 关于线性系统的结果。我们的方法是将半流和数值方法投影到谱 Galerkin 逼近,并平衡投影误差与投影系统时间离散化的误差。数值实验表明我们的估计是尖锐的。