哈密顿半线性演化方程的辛 A-稳定 Runge--Kutta 方法的指数精度哈密顿嵌入

我们证明，将一类 A-稳定辛 Runge--Kutta 时间半离散化方法（包括 Gauss--Legendre 方法）应用于一类在具有解析初始数据的解析函数空间上适定的半线性哈密顿偏微分方程时，可将其嵌入到一个修正的哈密顿流中，误差仅为指数级小量。因此，此类时间半离散化方法 conserves 修正哈密顿量，误差同样为指数级小量。该修正哈密顿量与原能量相差 $O(h^p)$，其中 $p$ 为方法的阶数，$h$ 为时间步长。此类系统的例子包括具有解析非线性和周期性边界条件的半线性波动方程或非线性 Schr\"odinger 方程。由于在构造修正矢量场时出现了无界算子，标准的哈密顿插值结果在此不适用。通过将该偏微分方程投影到一个子空间（其中演化方程中出现的算子是有界的），并将激发模的数量以及修正矢量场展开式中的项数与步长相耦合，可以解决这种构造中的正则性损失问题。以此方式，我们获得了形式为 $O(\exp(-c/h^{1/(1+q)}))$ 的指数估计，其中 $c>0$ 且 $q \geq 0$；对于半线性波动方程，$q=1$，而对于非线性 Schr\"odinger 方程，$q=2$。我们给出了一个示例，表明初始数据的解析性对于获得指数估计是必要的。