广义 Ornstein-Uhlenbeck 过程转移半群的可微性：一种概率方法

设 $P_s\phi(x)=\mathbb{E}\, \phi(X^x(s))$ 为 Banach 空间 $E$ 上有界可测函数空间 $B_b(E)$ 上的转移半群，其对应的 Markov 族由具有加性噪声的线性方程 $$d X(s)= \left(AX(s) + a\right)ds + BdW(s), \qquad X(0)=x\in E.$$ 所定义。我们给出一个简单的概率证明，证明相应确定性系统 $$d Y(s)= \left(AY(s)+ B\mathcal{U}(t)x)(s)\right)ds, \qquad Y(0)=x,$$ 的零能控性蕴含：对于任意 $\phi\in B_b(E)$，$P_t\phi$ 是无穷次 Fréchet 可微的，且 $$D^nP_t\phi(x)[y_1,\ldots ,y_n]= \mathbb{E}\, \phi(X^x(t))(-1)^nI^n_t(y_1,\ldots, y_n),$$ 其中 $I^n_t(y_1,\ldots,y_n)$ 是控制 $\mathcal{U}(t)y_1,\ldots \mathcal{U}(t)y_n$ 的对称 $n$ 重 Itô 积分。