Ornstein-Uhlenbeck 半群的范数不连续性与谱性质

设 $E$ 为实 Banach 空间。我们研究对应于 Ornstein-Uhlenbeck 算子 $$Lf(x) = \frac12 {\rm Tr} Q D^2 f(x) + <Ax, Df(x)>$$ 的 Ornstein-Uhlenbeck 半群 $P(t)$。这里 $Q$ 是从 $E^*$ 到 $E$ 的正对称算子，$A$ 是 $E$ 上 $C_0$-半群 $S(t)$ 的生成元。在假设 $P$ 存在不变测度 $\mu$ 下，我们证明若 $S$ 最终紧且其生成元的谱非空，则对所有 $t,s\ge 0$ 且 $t\not=s$ 有 $$\| P(t)-P(s)\|_{L^1(E,\mu)} = 2$$。即使当 $E = \R^n$ 时该结果也是新的。我们还研究 $P$ 在 $BUC(E)$ 中的行为。我们表明若 $A\not=0$ 则存在 $t_0>0$ 使得对所有 $0\le t,s\le t_0$ 且 $t\not=s$ 有 $$\| P(t)-P(s)\|_{BUC(E)} = 2$$。此外，在非退化假设或强 Feller 假设下，成立如下二分性：要么对所有 $t,s\ge 0$、$t\not=s$ 有 $$\| P(t)- P(s)\|_{BUC(E)} = 2$$，要么 $S$ 是幂零半群与有限维周期半群的直接和。最后我们考察 $L$ 在 $L^1(E,\mu)$ 和 $BUC(E)$ 中的谱。