非局部 Ornstein-Uhlenbeck 算子的谱理论

我们考虑由 L\'evy 过程驱动的非局部 Ornstein-Uhlenbeck（OU）算子。这些算子对应于由 L\'evy 过程驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程，这些是 ergodic Markov 过程，且 OU 算子在以不变分布加权的 $L^2$ 空间中通常是非正规的。在 L\'evy 过程的某些 mild 假设下，我们深入分析了谱谱、谱重数、特征函数和共轭特征函数（即伴随算子的特征函数），以及半群谱展开的存在性。当漂移矩阵 $B$ 可对角化时，我们推导了特征函数和共轭特征函数的显式公式，这些结果在 L\'evy 过程为纯跳过程时也依然成立。我们方法中的关键要素是\emph{内嵌关系}：我们证明了每个 L\'evy-OU 半群都与扩散型 OU 半群发生内嵌。此外，我们研究了这些半群的紧凑性，并提供了一些必要且充分的紧凑条件。