步为2的 Carnot 群上 L\'evy 与 L\'evy-Ornstein-Uhlenbeck semigroups 的谱理论

我们考虑步为2的 Carnot 群 $G$ 上亚拉斯贝尔算子 $\Delta_G$ 的非局部扰动 $\Delta^\psi_G$。这些扰动是沿 $G$ 中垂直方向作用的平移不变非局部算子。我们利用 $G$ 上的谱分析手段，获得由 $\Delta^\psi_G$ 生成的 semigroups 与欧几里得空间中强连续收缩 semigroups之间的互关系，这些 semigroups在纯连续谱上，由此我们识别了 $\Delta^\psi_G$ 的谱。进一步我们引入对应于 $\Delta^\psi_G$ 的 L\'evy-Ornstein-Uhlenbeck（OU）semigroup。我们证明这些 Markov semigroups是ergodic的，尽管它们在 $L^2$ 空间中不属于关于不变分布 $\mathsf{p}_\psi$ 的 normal operators。互关系使得我们可以表明所有 $G$ 上的 L\'evy-OU 生成器都是等谱的，即它们具有相同的特征值与相同的重数。作为副产品，我们获得了特征子空间的精确描述，同时也推导了对应于一些特征值的共轭函数的显式公式。