带 Sobolev 速度场的传输方程中的尖锐非唯一性

给定一维度为 $d$ 的发散自由向量场 ${\bf u} \in L^\infty_t W^{1,p}_x(\mathbb R^d)$ 和非负初始值 $\rho_0 \in L^r$，DiPerna--Lions 理论已建立在 $L^\infty_t L^r_x$ 密度类中弱解的唯一性，条件为 $\frac{1}{p} + \frac{1}{r} \leq 1$。后续研究 [BCDL21] 将该范围提升至 $\frac{1}{p} + \frac{d-1}{dr} \leq 1$。我们证明该范围是尖锐的，通过构造当 $\frac{1}{p} + \frac{d-1}{dr} > 1$ 时的唯一性反例。为此，我们引入一种新型流动机制。它不基于凸堆积技术——该技术在此背景下给出次优结果——也不基于纯粹的自相似方法，而是具备局部（离散）自相似性和间歇性空域-频率局部化特征。