线性输运方程的有限差分方法

DiPerna-Lions（Invent. Math. 1989）建立了具有Sobolev速度场的线性输运方程的存在唯一性结果。本文对定义在带无散度（无界）Sobolev速度场的有界区域上的线性输运方程，给出了两种简单有限差分方法的数学分析。第一种方法基于带广义双曲尺度的Lax-Friedrichs型显式格式，其中对无界速度场进行截断并给出其测度估计，以保证格式的单调性；该方法具有$L^p$强收敛性。第二种方法基于带$L^2$估计的隐式格式，其中离散速度场的离散Helmholtz-Hodge分解起关键作用，以保证离散问题中无散度约束；该方法无尺度依赖且具有$L^2$强收敛性。我们两种方法的关键在于获得近似解的精细$L^2$界，其趋于DiPerna-Lions给出的精确解范数。最后，从涉及输运方程的水平集方法视角，将显式格式应用于光滑速度场情形，并讨论了水平集几何量的严格离散逼近。