输运方程在临界空间正则性下弱解的非唯一性

我们考虑维度 $d\geq 3$ 下由不可压缩流驱动的线性输运方程。对于散度自由向量场 $u \in L^1_t W^{1,q}$，著名的 DiPerna-Lions 重整化解理论在 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} \leq 1$ 时建立了 $L^\infty_t L^p$ 类中弱解的唯一性。对于此类向量场，我们证明在 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > 1$ 的 regime 下，弱解在 $L^1_t L^p$ 类中不唯一。证明中的一个关键要素是在凸积分格式中同时使用时间间歇性与振荡。