关于输运方程解的非唯一性:时间正则性与空间正则性的定量关系

本文考虑环面 $\mathbb{T}^d$ 上输运方程的非唯一性,其中密度 $\rho\in L^{s}_tL_x^{p}$,无散度向量场 $\boldsymbol{u}\in L^{s'}_tL_x^{p'}\cap L^{\tilde{s}}_tW_x^{1,\tilde{p}}$。我们证明当 $d\ge 2$ 且 $s,p,\tilde{p}\in[1,\infty)$、$1\le\tilde{s}<s'$ 时,非唯一性在 $\frac{1}{p}+\frac{\tilde{s}'}{s\tilde{p}}>1+\frac{1}{d-1}$ 下成立。该结果可推广到带 $k$ 阶扩散算子的输运-扩散方程,在 $\rho\in L^{s}_tL_x^{p}\cap L_t^{\bar{s}}C_x^{\bar{m}}$、$\boldsymbol{u}\in L^{s'}_tL_x^{p'}\cap L^{\tilde{s}}_tW_x^{1,\tilde{p}}$ 类下,并对 $\bar{s},\bar{m},k$ 附加一定条件。特别地,当 $\tilde{s}=1$ 时,附加条件为 $\bar{m}<\frac{s}{\bar{s}}-1$、$k<\frac{s}{s'}+1$。这些结果可视为 Cheskidov 与 Luo [Ann. PDE, 2021] 的定量版本。主要工具为 Modena-Sattig-Sz\'ekelyhidi [Ann. PDE, 2018; Calc. Var. Partial Differ. Equ., 2019; Annales de l'Institut Henri Poincar\'e C, Analyse non lin\`eaire, 2020] 与 Cheskidov-Luo [Ann. PDE, 2021; arXiv, 2022 (forthcoming in Anal. PDE, 2023)] 发展的凸积分。