非局部拉格朗日乘子与传输密度

我们证明了具有分数阶 $s$-梯度约束（$0<s<1$）的Monge-Kantorovich方程的广义解的存在性，该方程关联于一般（可能退化）的线性分数阶算子类型 \begin{equation*} \mathscr L^su=-D^s\cdot(AD^su+\bs b\,u)+\bs d\cdot D^su+c\,u , \end{equation*} 其具有可积数据，所在空间为 $\Lambda^{s,p}_0(\Omega)$——该空间是有界域 $\Omega$ 中具有紧支撑的光滑函数集关于 $\R^d$ 中分布意义Riesz分数阶梯度 $D^s$ 的 $L^p$ 范数（当 $s=1$ 时，$D^1=D$ 为经典梯度）的完备化。传输密度作为 $L^\infty(\R^d)$ 对偶空间中的广义拉格朗日乘子出现，并关联于相应传输势在约束 $|D^su|\leq g$ 下的变分不等式。其存在性通过对变分不等式进行约束惩罚与线性算子 $\mathscr L^su$ 的非线性正则化逼近而得到证明。为此，我们还发展了空间 $\Lambda^{s,p}_0(\Omega)$ 的一些相关性质，包括极限情形 $p=\infty$ 以及连续嵌入 $\Lambda^{s,q}_0(\Omega)\subset \Lambda^{s,p}_0(\Omega)$（$1\le p\le q\le\infty$）。我们还展示了非局部问题（$0<s<1$）在 $s\rightarrow1$ 时向具有经典梯度约束的局部极限问题的局部化，对此多数结果对于仅具有可积系数和有界梯度约束的一般（可能退化）偏微分算子 $\mathscr L^1u$ 也是新的。