具有饱和效应的漂移扩散方程

我们关注一族关于非负密度 $\rho$ 的非线性连续方程，其动力学由一个连续且紧支撑的非线性迁移函数 $\mathrm{m}(\rho)$ 决定，该函数不必为凹函数。速度场为自由能变分的负梯度，自由能包含内部能和约束能项。具有紧支撑迁移的问题常被称为饱和问题，因为密度值受到上限约束。在一族逼近问题的帮助下，我们证明了 $L^1$ 折叠算子族的存在性。我们研究了问题的 $\omega$-limit，讨论其最相关的性质以及长期行为中自由边界的出现。该问题具有形式上的梯度流结构，我们讨论了相应自由能在与初始数据集相关的自然拓扑下的最低/全局极小值。此外，我们分析了一种结构保持的隐式有限体积格式，讨论其收敛性和长期行为。