具有分数阶 Riesz 梯度的拟线性算子的单边问题

本文在涉及有界与无界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 中分数阶 Riesz 梯度的凸约束 Dirichlet 型问题类中，发展了单调与伪单调算子的经典理论。我们考虑寻找 $u\in K^s$，使得对所有 $v\in K^s$ 有\n\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^d}{\boldsymbol{a}(x,u,D^s u)\cdot D^s(v-u)}\,dx+\int_\Omega{b(x,u,D^s u)(v-u)}\,dx\geq 0 \end{equation*}\n此处 $K^s\subset\Lambda^{s,p}_0(\Omega)$ 是分数阶 Sobolev 型空间 $\Lambda^{s,p}_0(\Omega)$（其中 $0\leq s\leq 1$ 且 $1<p<\infty$）中的非空、闭且凸的集合，$D^s$ 表示分布意义下的 Riesz 分数阶梯度，包含两个极限情形：$D^1=D$ 表示经典 Sobolev 空间 $\Lambda^{1,p}_0(\Omega)=W^{1,p}_0(\Omega)$ 中的经典梯度，而 $-D^0=R$ 表示 $\Lambda^{0,p}_0(\Omega)=\{u\in L^p(\mathbb{R}^d):\, u=0 \mbox{ a.e. in } \mathbb{R}^d\setminus\Omega\}$ 中的向量值 Riesz 变换。我们讨论了这一新框架下解的存在性与唯一性，并针对适应分数阶框架的结构函数 $\boldsymbol{a}$ 与 $b$ 的若干经典假设，获得了变分解关于分数阶参数 $s$ 连续依赖性的新结果。我们引入了凸集 $K^s$ 关于参数 $s$ 的 Mosco 收敛的推广，包含极限情形 $s=1$ 与 $s=0$，以根据不同情形证明解 $u_s$ 及其分数阶梯度 $D^su$ 的弱或强收敛性。通过若干单边问题的例子说明了应用，包括具有障碍型约束 $u\geq \psi$ 与 $s$-梯度型约束 $|D^su|\leq g$ 的拟变分不等式。