主动标量方程的重整化

我们考虑具有不可压缩输运向量场的输运方程。此类方程的光滑解仅由链式法则即守恒每个 $L^p$ 范数，但问题在于弱解需要何种正则性才能保证此守恒性质。经典的 DiPerna-Lions 理论给出了基于系数正则性的充分条件，而对被输运标量无正则性要求；我们在此给出基于系数与标量联合正则性的充分条件。其动机来自主动标量方程的情形，其中输运向量场与被输运标量具有相同的正则性。我们使用类似于 Constantin-E-Titi 在 Onsager 猜想背景下所用的交换子估计，但需要新的论证来处理 $p\neq 2$ 时 $L^p$ 范数的情形。