粗糙速度场下平流-扩散方程的弱解与抛物解

我们研究定义在环面上的仅可积散度自由向量场$b$所对应的平流-扩散方程$\partial_t u + \mathrm{div} (u b ) = \Delta u$的柯西问题。我们讨论了分布解与抛物解在不同可积性区间（对向量场和初始数据均如此）下的存在性、正则性与唯一性结果。我们给出了文献中分散的现有结果的更新全貌，并包含了一些原始证明。我们还提出了一些公开问题，其动机是近期通过凸积分方案展示方程在特定可积性区间不适定的最新结果。