偏向性耗散在离散自由被动向量的输运中

我们探讨了描述为 $\partial_t u + U \cdot \nabla u = - \nabla p + \nu \Delta u$ 的离散自由被动向量输运，其中 $U$ 和 $u$ 都是无散度速度场。我们从输入/输出视角来考察该方程，其中 $U$ 作为输入，$u$ 作为输出。这种输入/输出视角已在最近关于被动标量方程的研究中广泛应用，涉及异常耗散、混合、最优标量输运和非唯一性问题。与被动标量方程相比，被动向量方程的挑战之一在于由于压力的存在，缺乏拉格朗日视角。本文不要求 $U$ 和 $u$ 完全相同（如在 Navier-Stokes 方程中那样），而是要求它们在特定特征上相同。我们关注特征为异常增强耗散的情况。我们研究了在 Couette 流配置下进行的被动向量输运。本文的主要结果是构造了一个速度场 $U$，使得其能量耗散按比例 $(\log \nu^{-1})^{-2}$，而速度场 $u$ 的能量耗散至少按比例 $(\log \nu^{-1})^{-2}$。这意味着 $U$ 和 $u$ 都表现出近似异常耗散，即能量耗散的速率比任何 $\alpha > 0$ 的幂律 $\nu^{\alpha}$ 下降得更慢。本文的结果不仅是数学构造；它与湍流在通道中的行为高度相似。 $(\log \nu^{-1})^{-2}$ 能量耗散的减小模式由壁边界湍流的现象学理论所预测，这一预测在实验和数值模拟中得到了广泛验证。