时间上异常耗散测度的非平凡绝对连续部分

我们在维数 $4$ 下对 [Bru`e, De Lellis, 2023] 中的问题 2.2 和问题 2.3 给出肯定回答，通过构造强迫 $4d$ 不可压缩 Navier-Stokes 方程的新解例，其展现出与湍流零定律 [K41] 相关的异常耗散。我们还证明了具有时间无关体力的 $4d$ Navier–Stokes 方程的唯一光滑解 $v_\nu$ 在粘度参数 $\nu \to 0$ 时 $L^\infty$-弱* 收敛到强迫 Euler 方程解 $v_0$。此外，序列 $\nu |\nabla v_\nu|^2$ 在测度意义下弱* 收敛（取子列）到 $\mu \in \mathcal{M} ((0,1) \times \mathbb{T}^4)$，且 $\mu_T = \pi_{\#} \mu$ 具有非平凡绝对连续部分，其中 $\pi$ 为到时间变量的投影。进而，我们还表明 $\mu$ 在 $H^{-1}_{t,x}$ 度量的误差意义下接近 $4d$ 强迫 Euler 方程解的 Duchon–Robert 分布 $\mathcal{D}[v_0]$。最后，$v_0$ 的动能分布在时间上光滑。我们的结果依赖于无散度 $3d$ 自治速度场的平流-扩散方程的新异常耗散结果以及对 $3+\frac{1}{2}$ 维不可压缩 Navier–Stokes 方程的研究。本研究引发了一些开放问题。