对数伽马聚合物的极大自由能

我们证明了$\mathsf F_N$的大数定律与涨落的相变，其中$\mathsf F_N$是在$N\times N$正方形中所有可能起点和终点上最大化的参数为$\theta$的对数伽马定向聚合物的自由能最大值。特别地，我们找到了一个显式临界值$\theta_c=2\Psi^{-1}(0)>0$($\Psi$为双伽马函数)，使得：1. 当$\theta<\theta_c$时，$\mathsf F_N+2\Psi(\theta/2)N$具有阶为$N^{1/3}$的GUE Tracy-Widom涨落。2. 当$\theta=\theta_c$时，$\mathsf F_N= \Theta(N^{1/3}(\log N)^{2/3})$。3. 当$\theta>\theta_c$时，$\mathsf F_N=\Theta(\log N)$。利用Kotowski和Virág(Commun. Math. Phys. 370, 2019)最近发现的对数伽马聚合物与蜂窝晶格上某随机算子之间的联系，我们推导出了上述随机算子最小正特征值渐近行为的类似相变。