半空间对数伽马聚合物的 KPZ 指数

我们考虑长度为 $2N$ 的半空间点对点对数伽马聚合物，其体权重为独立同分布的 $\operatorname{Gamma}^{-1}(2\theta)$，边界权重为独立同分布的 $\operatorname{Gamma}^{-1}(\alpha+\theta)$，其中 $\theta>0$ 且 $\alpha>-\theta$。当 $\alpha=N^{-1/3}\mu$（$\mu\in \mathbb{R}$ 固定，临界区）以及 $\alpha>0$ 固定（超临界区）时，我们确立了该模型的 KPZ 指数（$1/3$ 涨落与 $2/3$ 横向）。特别地，在这两个区中，我们证明经过适当中心化后，以空间坐标按 $N^{2/3}$ 缩放、涨落按 $N^{1/3}$ 缩放的自由能过程是紧的。这些区对应于在边界处未被钉扎的聚合物测度。这是首次为正温度半空间模型确立 $2/3$ 横向指数，也是除边界精确处（arXiv:2204.08420 近期工作适用并给出精确单点涨落分布，我们的方法无法得到精确涨落分布）之外首次给出 $1/3$ 涨落指数。我们的证明依赖两个输入——半空间对数伽马聚合物与半空间 Whittaker 过程之间的关系（由 arXiv:1110.3489、arXiv:1210.5126 开创的几何 RSK 对应促成），以及 arXiv:2108.08737 中将半空间点对线配分函数与全空间对数伽马聚合物配分函数关联的恒等式。我们工作的主要技术贡献在于构造半空间对数伽马 Gibbs 线系综，并秉承 arXiv:1108.2291 开创工作的精神，开发了一套从此类半空间线系综顶曲线的极少信息中提取紧性与绝对连续性结果的工具箱。这是关于半空间线系综的首次研究。