通过正交 Whittaker 函数与辛 Schur 函数的随机聚合物

本论文处理 KPZ 普适类中的一些 $(1+1)$ 维格点路径模型：具有逆伽马权重的定向随机聚合物（称为对数伽马聚合物）及其零温退化，即具有几何或指数等待时间的最后通过渗流模型。我们考虑三种路径几何：点到线、点到半线，以及限制于停留在半平面内的点到线。通过精确公式，我们建立了可积概率模型与无处不在的 Whittaker 函数和 Schur 函数之间的新联系。更具体地，通过使用 A. N. Kirillov 的几何 Robinson-Schensted-Knuth（RSK）对应，我们计算了上述几何下聚合物配分函数的 Laplace 变换，用正交 Whittaker 函数表示。对于前两种几何，我们还给出了多重围道积分公式。对于相应的最后通过渗流问题，我们获得了基于辛 Schur 函数的新公式，既通过多边形阵列上的 RSK 直接得到，也通过对数伽马聚合物公式的零温极限得到。作为具有指数等待时间的点到线与点到半线模型的标度极限，我们导出了 Sasamoto 关于 GOE Tracy-Widom 分布的 Fredholm 行列式公式，以及 ${\rm Airy}_{2\to1}$ 过程的一点边缘分布。