Cuntz 代数表示的 Martin 边界

在近期若干论文中，广义边界的思想已在分形与多分辨率分析中发挥作用；其中许多论文聚焦于具体实例。与这一新见解并行，且受量子概率的推动，亦有大量研究借助某些非交换算子系统来研究分形与多分辨率结构，即非交换调和/随机分析。这进而涉及组合、图操作与分支律。这些非交换代数中最具通用性的是 Cuntz 代数；记为 $\mathcal{O}_{N}$，其中 $N$ 为等距生成元的个数。$N$ 至少为 2。我们的焦点在于 $\mathcal{O}_{N}$ 的表示。我们旨在发展新的非交换工具，涉及表示论与随机过程。它们用于连接这些并行的发展。概而言之，边界、Poisson 边界或 Martin 边界是某些测度空间（常关联于随机游走模型），用以编码渐近行为，例如当步数趋于无穷时轨迹如何发散。我们强调，我们当前的边界（交换或非交换）皆为纯测度论对象。尽管如我们所展示的，在某些情况下我们的边界可与更熟悉的拓扑边界相比较。