线性-二次均值场博弈论：面向常见噪声的直接方法

本文研究了线性-二次均值场博弈问题，其中个体状态方程的漂移项和扩散项与状态、控制以及均值场项耦合，我们采用直接方法来处理此问题。与解决对应的均值场团队问题相比，具有状态耦合的均值场博弈问题更具挑战性。这不仅体现在在变分分析中应用 adjoint 方程数量激增，也体现在在解耦高维前向-后向随机微分方程系统时需要更多的 Riccati 方程。我们采用不同的步骤并巧妙地利用方程的内在属性来应对这些挑战。首先，我们在广泛且有限的群体设置下解一个 $N$ 玩家博弈问题，通过变分分析获得前向-后向随机微分方程组。随后，我们取 $N$ 趋近无穷大的极限并应用大数定律，导出限制前向-后向随机微分方程。基于后向随机微分方程的解的存在唯一性，方程中的一些变量恰好为零，这显著降低了分析复杂度。这使我们仅需引入两个 Riccati 方程即可显式构造所有参与者的去中心化策略。此外，我们证明所构建的去中心化策略构成原始问题的 $\epsilon$-Nash 均衡策略。我们还将结果推广到无限时域情况并分析代数 Riccati 方程的可解性。最后提供数值仿真以说明上述结论。