Hele-Shaw问题大数据的长时间重标度行为

本文研究了原点注入下零表面张力Hele-Shaw问题的一类全局解的重标度行为，即$\{\Omega(t)\}_{t\geq 0}$。这里，如果$f(\xi,t)$是原点注入下Polubarinova-Galin方程的一个全局强多项式解，则$\Omega(0)$是$f(B_{1}(0),0)$的一个小扰动，并且我们证明解$\Omega(t)$也是全局的。我们对区域$\Omega(t)$进行重标度，使得新区域$\Omega^{'}(t)$的面积始终为$\pi$，并且对于足够大的$t$，我们将$\partial\Omega^{'}(t)$视为以原点为中心的单位圆的径向扰动。结果表明，径向扰动以$t^{-\lambda}$的代数形式衰减。这种衰减也意味着$\partial\Omega^{'}(t)$的曲率以$t^{-\lambda}$的代数形式衰减到1。如果低阶Richardson矩为零，则衰减更快。我们还解释了这项工作是对Vondenhoff工作的推广，后者处理了$f(\xi,t)=a_{1}(t)\xi$的情况。