关于 Zakharov-Kuznetsov 方程大解的空间局部能量衰减

我们考虑定义在 $\mathbb R^d$ 上的 Zakharov-Kutznesov (ZK) 方程，其中 $d=2$ 和 $3$。两个方程在 $L^2(\mathbb R^d)$ 中均为全局适定。本文中，我们证明全局解的空间局部能量衰减：若 $u(t)$ 是 ZK 方程以 $L^2(\mathbb R^d)$ 中数据为初值的解，则对于原点周围随时间无界增长、且不包含孤子区域的合适空间区域 $\Omega_d(t)\subseteq \mathbb R^d$，有 $$\liminf_{t\rightarrow \infty}\int_{\Omega_d(t)}u^{2}({\bf x},t)\mathrm{d}{\bf x}=0.$$ 我们也证明了 $H^1(\mathbb R^d)$ 解的局部衰减。作为副产品，我们的结果推广了 Gustavo Ponce 与第二作者所证明的 KdV 与四次 KdV 方程的衰减性质。我们也给出了顺序衰减率及其他强衰减结果。